灑豆成兵:蒙地卡羅模擬法

蒙地卡羅方法,是1940年代中期在科學家馮.紐曼、斯塔尼斯拉夫.烏拉姆以及尼古拉斯.梅特羅波利斯於若斯阿拉莫斯國家實驗室為核武器計畫工作時所發明的,至於為何會取「蒙地卡羅」這個名字呢?那是因為烏拉姆的叔叔經常在摩納哥的蒙地卡羅賭場輸錢輸的一屁股而得名,因為蒙地卡羅方法正是以機率為基礎的方法。

生活中的應用

蒙地卡羅方法並不只是鎖在象牙塔中神祕的不傳寶典,只要看過颱風氣象預報的人,肯定就看過蒙地卡羅的實際應用範例。

許多人會有的疑問是,颱風的預測範圍為什麼隨著日期越晚,範圍越大?氣象預報上模擬可能的颱風路徑,並呈現70%可能的颱風未來路徑,隨著日期越晚,能預測的走勢自然越不確定,理所當然的所呈現範圍越大。

π,3.14159265359……

讓我透過個簡單的實做舉例為各位介紹蒙地卡羅法。

每個人過去都學過,π是一個無理數,約等於3.14159265359……,然而我們究竟要如何求得π的近似值呢?我們可以用蒙地卡羅法來估算π。

首先我們來看一個圖形。

這個圖形為正方形中。包含了一個1/4圓,假設正方形的邊長為r,則正方形的面積為,1/4圓的面積為,若我們透過抽樣估算出來正方形面積為A,1/4圓的面積為B則可以寫成以下關係

透過一些推導,我們可以得知π:

上述的條件式告訴了我們,實際上可以用圓的面積除於A來求取,換句話說只要能確切的估計正方形的面積(A)以及1/4圓的面積(B)之間的比例,就可以估計π值。

如何估計面積?

若不使用面積公式,要如何估計正方形以及1/4圓的面積呢?我們可以用撒豆子的方式來估計。我們可以在下方的畫布上灑上豆子,將落在圓裡面的豆子漆成黃色、圓外面的豆子漆成藍色,

這些豆子就可以幫助我們求出1/4圓以及正方形的面積比

1/4圓的面積=黃色豆

正方形的面積=黃色豆子+藍色豆

到底要灑多少豆子?

這時可能就會有疑問了,到底要撒多少的豆子,我們的結果才具有可信度呢?

當豆子只有100個時,就圖形而言看不出1/4圓,對π的估計效果也很差,當有1,000個豆子時,圖形已經隱隱約約可以看出1/4圓,對於π的估計結果也變好了,當豆子的數目來到10,000個時,可以看到很明顯的1/4圓,估計結果也比1000個時更精確。當我們撒超過100,000個豆子時,對π的估計來到了小數點後2位數的精確程度,而且1/4圓變得非常明顯。

實際上樣本數對於估計π精準度的影響必須有多次的抽樣才能下結論,但就不在這裡贅述,有興趣的讀者可以參考收錄的附件。只需要記得,當我們撒的豆子越多,對於估計π的精準度越好。

蒙地卡羅法在金融中的應用

蒙地卡羅法在金融中可以說是被廣泛的應用,從包含風險值的估計以及複雜的衍生性金融商品定價等等,而阿爾發機器人理財使用此方法協助投資人評估未來投資計畫的成功機率。

阿爾發機器人理財使用蒙地卡羅方法模擬未來10,000種資產報酬情形,計算出投資人未來投資計畫的成功機率。

除了試算成功機率外,阿爾發機器人理財透過視覺化的方式呈現三種情況下資產的累積情況(較好情況、一般情況、較差情況),讓投資人能全面性的了解投資計畫的穩健程度。

歡迎有興趣的朋友,透過下方連結到官網進行試算,只需要完成會員註冊,就可以查看投資試算結果,完全免費。


附件:樣本數大小對於蒙地卡羅估計π精準度的影響

以下為各蒙地卡羅的模擬點在100次的抽樣下,信心水準95%所計算出來的信賴區間,舉例來說模擬點1000代表做了100次的抽樣且每次的模擬點都是1000個,而這100個抽樣所計算出來的95%信賴區間落於3.13875~3.1394之間。

不熟悉統計學的讀者可以參考以下說明:

該表主要表達的是隨著模擬點的增加,信賴區間的長度會越來越小,這也就代表蒙地卡羅方法估算的π誤差越小。

同時我們可以觀察信賴區間長度縮小的幅度,當樣本增加10倍,信賴區間長度縮小的幅度只有3倍,這亦是蒙地卡羅方法最大的問題,當想要求得更精準的估算結果時,樣本增加的速度遠比誤差縮小的速度快上許多。

阿爾發投顧-投資研究部研究員 高風險高報酬,但你承擔到對的風險了嗎?

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